兩種基本方法是數學計算（帶多項式）和查找表。

Arduino的數學庫（libm，avr-libc的一部分）使用了前者。它針對AVR進行了優化，因為它是使用100％彙編語言編寫的，因此幾乎無法跟隨其工作（註釋也為零）。放心吧，儘管它將是最優化的純浮點實現方法，但我們的腦筋要遠遠勝過我們。

但是關鍵是 float 。與純整數相比，Arduino上涉及浮點的所有內容都將變得重量級，並且由於您僅請求0到90度之間的整數，因此到目前為止，簡單的查找表是最簡單，最有效的方法。

由91個值組成的表格將為您提供0到90之間的所有值。但是，如果使用0.0到1.0之間的浮點值表，那麼使用浮點數仍然效率低下（被授予的效率不如使用浮點數計算 sin 效率低），因此存儲定點值

那可能就像存儲乘以1000的值一樣簡單，因此您擁有0到1000之間的值，而不是0.0到1.0之間的值（例如，將存儲sin（30）為500，而不是0.5）。更有效的方法是將這些值存儲為Q16值，其中每個值（位）代表1.0的1 / 65536th。這些Q16值（以及相關的Q15，Q1.15等）使用起來效率更高，因為您擁有計算機喜歡使用的二次冪，而不是計算機討厭使用的二次冪。

也不要忘記 sin（）函數期望弧度，因此首先必須將整數度轉換為浮點弧度值，並使用與可以直接使用整數度值的查找表相比，sin（）的效率更低。

但這是兩種情況的結合。 線性插值可讓您獲得兩個整數之間的浮點角的近似值。這很簡單，只需計算出查找表中兩點之間的距離，然後根據兩個值的距離創建加權平均值。例如，如果您在23.6度，則使用（sintable [23] *（1-0.6））+（sintable [24] * 0.6）。基本上，您的正弦波變成了一系列由直線連接在一起的離散點。您以準確性為代價。

這裡有一些很好的答案，但是我想添加一種尚未被提及的方法，一種非常適合在嵌入式系統上計算三角函數的方法，這就是CORDIC技術。 Wiki Entry Here它可以僅使用移位和加法以及小的查詢表來計算trig函數。

這是C語言中的一個粗略示例。實際上，它使用CORDIC實現了C庫的atan2（）函數（即找到一個給定兩個正交分量的角度。）它使用浮點數，但可以用於定點算法。

  / * *使用CORDIC算法的簡單示例。 * /＃include <stdio.h>＃include <math.h>＃define CORDIC_TABLE_SIZE 16double cordic_table [CORDIC_TABLE_SIZE]; void init_table（void）; double angle（double I，double Q）; / * *給出正弦值，使用CORIDC *算法計算角度。 * /雙角（雙I，雙Q）{int L;雙K = 1; double angle_acc = 0;雙tmp_I; if（I < 0）{/ *旋轉初始+/- 90度* / tmp_I = I; if（Q > 0.0）{I = Q; / *減去90度* / Q = -tmp_I; angle_acc = -90; }其他{I = -Q; / *加90度* / Q = tmp_I; angle_acc = 90; }}其他{angle_acc = 0; } / *使用（1 + jK）因子* /旋轉（L = 0，K = 1; L < = CORDIC_TABLE_SIZE; L ++）{tmp_I = I;如果（Q > = 0.0）{/ *角度為正：做負旋轉* / I + = Q * K; Q-= tmp_I * K; angle_acc-= cordic_table [L]; } else {/ *角度為負：正向旋轉* / I-= Q * K; Q + = tmp_I * K; angle_acc + = cordic_table [L]; } K / = 2.0; } return -angle_acc;} void init_table（void）{int i;雙K = 1;
for（i = 0; i < CORDIC_TABLE_SIZE; i ++）{cordic_table [i] = 180 * atan（K）/ M_PI; K / = 2.0; }} int main（int argc，char ** argv）{double I，Q，A，Ar，R，Ac; init_table（）; printf（“＃角度，CORDIC角度，錯誤\ n”）；對於（A = 0; < 90.0; A + = 0.5）{Ar = A * M_PI / 180; / *轉換為C的正弦的弧度& cos fn * / R = 5; //任意半徑I = R * cos（Ar）; Q = R * sin（Ar）; Ac =角度（I，Q）; printf（“％9f，％9f，％12.4e \ n”，A，Ac，Ac-A）; } return 0;}  

但是請先嘗試使用本機Arduino trig函數-無論如何它們可能足夠快。

我一直在使用定點多項式逼近在Arduino上計算正弦和余弦。與來自avr-libc的標準 cos（）和 sin（）相比，這是我對平均執行時間和最壞情況錯誤的度量：

 函數最大錯誤循環時間----------------------------------------- cos_fix（） 9.53e-5 108.25 6.77 µssin_fix（）9.53e-5 110.25 6.89 µscos（）2.98e-8 1720.8 107.5 µssin（）2.98e-8 1725.1 107.8 µs  

它基於第六僅用4次乘法計算的度多項式。乘法本身是用彙編完成的，因為我發現gcc效率低下。角度以每轉1/65536的單位表示為 uint16_t ，這使得角度的運算自然可以以一轉為模。

如果您認為這樣可以滿足您的要求，請在這裡是代碼： Fixed-pointtrigonometry。很抱歉，我仍然沒有翻譯此頁面（法語），但是您可以理解方程式，並且代碼（變量名，註釋...）位於

編輯：由於服務器似乎已消失，因此以下是我找到的近似值的信息。

我想寫角度以二進制定點，以像限為單位（或等效地，依次）。我還想使用偶數多項式，因為它們比任意多項式更有效地計算。換句話說，我想要一個多項式P（）使得對於x∈[0,1]

cos（π/ 2 x）≈P（x ^{2 sup>）}

我還要求在區間的兩端都必須近似逼近，以確保cos（0）= 1和cos（π/ 2）= 0.這些約束導致形式為

P（u）=（1 − u）（1 + uQ（u））

其中Q（）是任意多項式。

接下來，我搜索最佳解為Q（）的度的函數，並得出以下結果：

  Q（u）│P（x²）的度│最大誤差
────────────────────┼──┼────────────┼ ────0│2│5.60e-2 −0.224│4│9.20e-4−0.2335216 + 0.0190963 u│6│9.20e-6  

在上述解決方案中進行選擇是速度/精度的權衡。第三種解決方案提供的精度比16位解決方案要高，這是我為16位實現選擇的解決方案。

您可以創建幾個函數，這些函數使用線性逼近來確定特定角度的sin（）和cos（）。

我在想這樣的事情：

對於每一個，我都將sin（）和cos（）的圖形表示分為三個部分，並對該部分進行了線性近似。

您的函數最好首先檢查天使的範圍在0到90之間。
然後它將使用 ifelse 語句確定它屬於3個部分中的哪一個，然後進行相應的線性計算（即 output = mX + c ）

我尋找了近似於cos（）和sin（）的其他人，然後遇到了這個答案：

dtb對“使用預先計算的轉換數組的快速Sin / Cos”的答案

他基本上算出了數學庫中的math.sin（）函數比使用值查找表要快。但是據我所知，這是在PC上計算的。

Arduino有一個數學庫，可以計算sin（）和cos（）。

查找表將是查找異常的最快方法。而且，如果您願意使用定點數（整數位不在二進制位0右邊的整數）進行計算，則使用正弦的進一步計算也將更快。然後，該表可以是單詞表，可能在Flash中以節省RAM空間。請注意，在數學運算中，可能需要使用long以獲得較大的中間結果。

通常，查詢表>近似->計算。內存>閃光燈。整數>定點>浮點。預計算>實時計算。鏡像（正弦到餘弦或餘弦到正弦）與實際計算/查找...。

每個都有其優缺點。

您可以進行各種組合看看哪種方法最適合您的應用程序。

編輯：我進行了快速檢查。使用8位整數輸出，使用查找表計算1024個sin值需要0.6毫秒，使用浮點數需要133毫秒，或者慢200倍。

我對OP有一個類似的問題。我想製作一個LUT表以將正弦函數的第一象限計算為從0x8000到0xffff的無符號16位整數。最後我為了娛樂和利潤而寫了這篇。注意：如果我使用'if'語句，這將更有效。同樣，它也不是很準確，但是對於聲音合成器中的正弦波而言，它的精確度足夠了

  void sin_lut_ctor（）{//為正弦函數的511個項查詢表。/ /插入一些多項式來做一些魔術//，並且得到接近π/ 2的正弦的近似值。/////π/ 2以外的所有正弦都可以用mathconst uint16_t uLut_d = 0x0200導出； //π/ 2個項的最大LUT深度。 uint16_t uLut_0 [uLut_d]; // LUT本身。//將上面的2放在void setup（）之前作為全局變量。//此係數僅適用於uLut_d = 511.uint16_t arna_poly_0 = 0x000a; // 11uint16_t arna_poly_1 = 0x0001; // 1uint16_t arna_poly_2 = 0x0007; // 7uint16_t arna_poly_3 = 0x0001; // 1個預先計算的Polynomialsuint16_t arna_poly_4 = 0x0001; // 1 uint16_t arna_poly_5 = 0x0007; // 7uint16_t arna_poly_6 = 0x0002; // 2uint16_t arna_poly_7 = 0x0001; // 1uint16_t Imm_UI_0 = 0x0001; // Itteratoruint16_t Imm_UI_1 = 0x007c; //時間減少的增量器uint16_t Imm_UI_2 = 0x0000; // uint16_t Imm_UI_3 = 0x0000; // uint16_t Imm_UI_4 = 0x0000; // uint16_t Imm_UI_5 = 0x0000; // uint16_t Imm_UI_6 = 0x0000; //臨時變量uint16_t Imm_UI_7 = 0x0000; // uint16_t Imm_UI_8 = 0x0000; // uint16_t Imm_UI_9 = 0x0000; // uint16_t Imm_UI_A = 0x0000; uint16_t Imm_UI_B = 0x0000; uint16_t Imm_UI_A = uLut_d-0x0001; // 510uLut_0 [0x0000] = 0x8000; //假設中間點是32768（十六進制0x8000），而（Imm_UI_0 < Imm_UI_A）//構造正弦表的四分之一{
Imm_UI_2 ++; //將臨時變量增加1Imm_UI_B = Imm_UI_2 / arna_coeff_0; //將其與第一個係數相除（注意：整數除法）Imm_UI_3 + = Imm_UI_B; //如果第一個臨時值增加到第一個係數，則增加下一個臨時值。Imm_UI_1-= Imm_UI_B; //如果是這種情況，則減少增量器Imm_UI_2 * = 0x001-Imm_UI_B; //將第一個臨時變量設置回0Imm_UI_B = Imm_UI_3 / arna_poly_1; //使用下一組臨時變量執行與以前相同的操作Imm_UI_4 + = Imm_UI_B; Imm_UI_1-= Imm_UI_B; Imm_UI_3 * = 0x0001-Imm_UI_B; Imm_UI_B = Imm_UI_4 / arna_poly_2; //再三...再三...你有了主意。Imm_UI_5 + = Imm_UI_B; Imm_UI_1-= Imm_UI_B; Imm_UI_4 * = 0x0001-Imm_UI_B; Imm_UI_B = Imm_UI_5 / arna_poly_3; Imm_UI_6 + = Imm_UI_B; Imm_UI_5 * = 0×0001  -  Imm_UI_B; Imm_UI_B = Imm_UI_6 / arna_poly_4; Imm_UI_7 + = Imm_UI_B; Imm_UI_1  -  = Imm_UI_B; Imm_UI_6 * = 0×0001  -  Imm_UI_B; Imm_UI_B = Imm_UI_7 / arna_poly_5; Imm_UI_8 + = Imm_UI_B; Imm_UI_1  -  = Imm_UI_B; Imm_UI_7 * = 0×0001 -Imm_UI_B; Imm_UI_B = Imm_UI_8 / arna_poly_6; Imm_UI_9 + = Imm_UI_B; Imm_UI_1-= Imm_UI_B; Imm_UI_8 * = 0x0001-Imm_UI_B; Imm_UI_B = Imm_UI_9上一個將要跳過的變量/下一個要遞增的變量Imm_UI_1-= Imm_UI_B; Imm_UI_9 * = 1-Imm_UI_B; uLut_0 [Imm_UI_0] =（uLut_0 [Imm_UI_0-0x0001] + Imm_UI_1）; //將當前值設置為上一個由我們的增量值增加的值Imm_UI_0 ++; //增加發射器} uLut_0 [Imm_UI_A] = 0xffff; //最後，將最後一個值設置為0xffff //就可以了。現在只有一個if語句（一個while循環）的正弦表}  

現在要獲取值，請使用此函數。它接受0x0000到0x0800的值，並從LUT

  uint16_t lu_sin（uint16_t lu_val0）{//獲取從0x0000到0x0800的值。返回適當的sin（值）Imm_UI_0 = lu_val0 / 0x0200; //確定象限Imm_UI_1 = lu_val0％0x0200; //如果（Imm_UI_0 == 0x0000）{返回uLut_0 [Imm_UI_1]; }如果（Imm_UI_0 == 0x0001）{返回uLut_0 [0x01ff-Imm_UI_1]; }如果（Imm_UI_0 == 0x0002）{返回0xffff-uLut_0 [Imm_UI_1]; }如果（Imm_UI_0 == 0x0003）{返回0xffff-uLut_0 [0x01ff-Imm_UI_1]; }} //我在這裡使用了if語句，但與上面的代碼塊類似，//您可以不使用它。請記住，這不是整數除法和取模的方法 

，這並不是執行此任務的最有效方法，我只是想不出如何使taylor級數在適當範圍內給出結果

僅出於樂趣，並證明它可以完成，我完成了一個AVR彙編例程，以24位（3字節）的格式計算sin（x）結果，但有1位錯誤。輸入角度以度為單位，以十進制數為單位，僅第一個像限為000到900（0〜90.0）。它使用不到210條AVR指令，平均運行時間為212微秒，從211us（角度= 001）到213us（角度= 899）不等。天（空閒時間），只考慮最佳計算算法，考慮到AVR微控制器，沒有浮點數，消除了所有可能的除法。花更多的時間來為整數設置正確的升壓值，要具有良好的精度，需要將1e-8的值升壓為2 ^ 28或更大的二進制整數。一旦找到所有精度和舍入誤差元，將其計算分辨率提高2 ^ 8或2 ^ 16，就可以達到最佳結果。我首先在Excel上模擬了所有計算，同時將所有值都設為Int（x）或Round（x，0）來表示AVR核心處理。

例如，在算法中，角度必須以弧度為單位，輸入以度為單位，以方便用戶使用。要將度數轉換為弧度，平凡的公式是rad = degrees * PI / 180，這看起來很好，很簡單，但不是，PI是一個無限數-如果使用很少的數字，它將在輸出中產生錯誤，除以180要求AVR位操作，因為它沒有除法指令，並且除此以外，由於涉及遠遠低於整數1的數字，結果將需要浮點運算。例如，1°（度）的Radian為0.017453293。由於PI和180是常數，為什麼不為了簡單的乘法而反轉呢？ PI / 180 = 0.017453293，將其乘以2 ^ 32，得到的常數為74961320（0x0477D1A8），將該數字乘以您的角度（以度為單位），假設900代表90°，然後將其右移4位（÷16），以獲得4216574250（0xFB53D12A），即90°的弧度（具有2 ^ 28的擴展），適合4個字節，沒有一個除法（右移4位除外）。在某種程度上，這種技巧所包含的錯誤小於2 ^ -27。

因此，所有進一步的計算都需要記住，錯誤要高2 ^ 28並要加以注意。您需要將移動結果除以16、256或什至65536，以避免它使用不必要的增長的飢餓字節，這不利於解決。這是一項艱苦的工作，只是在每個計算結果中找到最少的位數，使結果精度保持在24位左右。在Excel流中，按嘗試/錯誤方式使用高或低位進行多次計算中的每一項，在結果中觀察錯誤位的總數，該圖顯示0-90°，其中宏運行代碼900次，十分之一度。這種“可視化” Excel方法是我創建的工具，它為代碼的每個部分找到了最佳解決方案，這大有幫助。

例如，將特定的計算結果13248737.51舍入為13248738或僅丟失小數點“ 0.51”，它將對所有900個輸入角度（00.1〜90.0）測試的最終結果精度產生多大影響？

在每次計算中，我都能將動物保持在32位（4字節）內，並最終獲得了魔法，從而在結果的23位內獲得了精度。當檢查結果的整個3個字節時，誤差為±1 LSB，非常明顯。

用戶可以根據自己的精度要求從結果中抓取一個，兩個或三個字節。當然，如果僅一個字節就足夠了，我建議使用一個256字節的sin表，並使用AVR'LPM'指令來抓取它。

一旦我使Excel序列運行流暢，整潔，從Excel到AVR程序集的最終翻譯就用了不到2個小時，像往常一樣，您應該首先考慮更多，然後再減少工作。

那時，我可以進行更多壓縮並減少寄存器使用量。實際的（不是最終的）代碼使用大約205條指令（〜410字節），平均以212us運行sin（x）計算，時鐘為16MHz。以該速度，它每秒可以計算4700+ sin（x）。並不重要，但是它可以運行高達4700Hz的精確正弦波，具有23位的精度和分辨率，而無需任何查找表。

基本算法基於針對sin（x）的泰勒級數，但是對其​​進行了很多修改，以適應AVR微控制器和精確度的要求。

即使使用2700字節表（900個條目* 3個字節）將具有極好的速度吸引力，在此方面的樂趣或學習經驗是什麼？當然，也考慮使用CORDIC方法，也許稍後，這裡的重點是將Taylor擠入AVR核心並從乾燥的岩石中取水。

我想知道Arduino的“ sin（78.9°）”是否可以以小於212us的精度運行23位處理（C ++），所需的代碼小於205條指令。可能是C ++使用CORDIC。 Arduino草圖可以導入彙編代碼。

沒有任何必要在此處發布代碼，稍後，我將對這篇文章進行編輯，以包括指向該文章的Web鏈接，可能會在我的博客中，此URL。

這是一項業餘愛好，很有趣，它以16MHz的速度推動了幾乎16MIPS的AVR引擎的極限，無須除法指令，僅以8x8位進行乘法運算。它允許計算sin（x），cos（x）[= sin（900-x）]和tan（x）[= sin（x）/ sin（900-x）]。

最重要的是，這有助於使我63歲的大腦保持光彩照人。當青少年說“老年人”對技術一無所知時，我回答“再想一想，您認為誰為今天享受的一切奠定了基礎？”。

乾杯

就像其他人提到的那樣，查找表是提高速度的一種方法。我最近一直在研究ATtiny85上的三角函數的計算，以使用快速矢量平均值（在我的情況下為風）。總是存在折衷...對我來說，我只需要1度角分辨率，因此查找360 int（將-32767縮放為32767，只能與int一起使用）的查找表是最好的選擇。檢索正弦僅是提供索引0-359的問題...非常快！我測試中的一些數字：

閃存查找時間（us）：0.99（使用PROGMEM存儲的表）

RAM查找時間（us）：0.69（RAM中的表）

庫時間（us）：122.31（使用Arduino庫）

請注意，這些是每個360點樣本的平均值。測試是在nano上完成的。